Dersin içeriği

İki dönemlik olan bu ders notları, matematiği ve matematiksel analizi derinlemesine anlamak isteyen birinci sınıf matematik öğrencilerine yönelik hazırlanmıştır, yani hiçbir önbilgi gerekmemektedir. Ancak her aşamadaki matematik öğrencisinin notlardan yararlanacağına inanıyoruz. Amacımız türev ve integral konularına hiç girmeden bir boyutlu gerçel (reel) analizin derinliklerine girmek ve fonksiyonel analizin kapısını aralamak.

Konuya gerçel (reel) sayılar kümesi ℝ’nin aksiyomlarıyla başlıyoruz ve ℝ’nin içindeki ℕ, ℤ, ℚ sayı sistemlerini bulup bu sayı sistemlerinin tahmin edilen özelliklerini kanıtlıyoruz. Konular şu sırayla devam ediyor: Diziler, yakınsaklık, limit, Cauchy dizileri, seriler, yakınsaklık kriterleri, kuvvet serileri, yakınsaklık yarıçapı. Ardından süreklilik ve düzgün yakınsaklık gibi kavramlara girip Weierstrass M-testi’ni kanıtlıyoruz ve uygulama olarak exp, sin, cos, ln gibi aşkın fonksiyonları tanımlayıp temel özelliklerini ortaya çıkarıyoruz. Bu arada π sayısının varlığı (sin fonksiyonunun ilk pozitif sıfırı olarak) ve trigonometrik eşitlikler kanıtlanıyor. Ders notları, Weierstrass Yoğunluk Teoremi gibi fonksiyonel analizin birkaç önemli teoremiyle son buluyor.

Kanıtlanmamış hiçbir olgu bırakmayan aksiyomatik yaklaşıma karşın, sezgilerin önemi ortaya çıkarılmaya çalışılmış, kanıtlar tepeden inmeci bir biçim ve tavırla değil, olabildiğince, matematikçinin düşünme sürecini ortaya çıkaracak biçimde sunulmuştur. Kısaca ders notları, geleceğin araştırmacısı göz önünde bulundurularak kaleme alınmıştır.

Son değiştirme: 9 Ağustos 2012, Perşembe, 15:24